Упр.26.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что: a) arcsin х + arccos х = пи/2, х € [-1; 1]; б) arctg x + arcctg х = пи/2, х € R.

а) Пусть $$\arcsin x = \frac{\pi}{2} — \arccos x.$$

Так как $$x \in [-1;1],$$ то оба угла $$\arcsin x$$ и $$\arccos x$$ определены. При этом

$$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}, \qquad 0 \le \arccos x \le \pi.$$

Следовательно,

$$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} — \arccos x \le \frac{\pi}{2}.$$

Достаточно проверить равенство синусов:

$$\sin(\arcsin x)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\arccos x\right).$$

Левая часть равна $$x,$$ а правая часть:

$$\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\arccos x\right)=\cos(\arccos x)=x.$$

Значит,

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}.$$

б) Пусть $$\arctg x = \frac{\pi}{2} — \arcctg x.$$

Так как $$x \in \mathbb{R},$$ то оба угла определены. При этом

$$-\frac{\pi}{2} < \arctg x < \frac{\pi}{2}, \qquad 0 < \arcctg x < \pi.$$

Следовательно,

$$-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - \arcctg x < \frac{\pi}{2}.$$

Проверим равенство тангенсов:

$$\tg(\arctg x)=\tg\!\left(\frac{\pi}{2}-\arcctg x\right).$$

Левая часть равна $$x,$$ а правая часть:

$$\tg\!\left(\frac{\pi}{2}-\arcctg x\right)=\ctg(\arcctg x)=x.$$

Значит,

$$\arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}, \quad x\in[-1;1];$$

$$\arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}, \quad x\in\mathbb{R}.$$