Упр.26.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите неравенство: a) (sin 50° + cos 50°)/(корень2 sin 85°) = 1; б) (cos 40° — корень3 sin 40°)/(sin 190°) = 2

Подробный ответ

а)

$$ \frac{\sin 50^\circ+\cos 50^\circ}{\sqrt{2}\sin 85^\circ} = \frac{\sin(45^\circ+5^\circ)+\cos(45^\circ+5^\circ)}{\sqrt{2}\sin(90^\circ-5^\circ)} $$

$$ \sin(45^\circ+5^\circ)=\sin45^\circ\cos5^\circ+\cos45^\circ\sin5^\circ $$
$$ \cos(45^\circ+5^\circ)=\cos45^\circ\cos5^\circ-\sin45^\circ\sin5^\circ $$

Тогда
$$ \sin 50^\circ+\cos 50^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos5^\circ+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin5^\circ+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos5^\circ-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin5^\circ = \sqrt{2}\cos5^\circ. $$

Кроме того,
$$ \sin85^\circ=\sin(90^\circ-5^\circ)=\cos5^\circ. $$

Следовательно,
$$ \frac{\sin 50^\circ+\cos 50^\circ}{\sqrt{2}\sin 85^\circ} = \frac{\sqrt{2}\cos5^\circ}{\sqrt{2}\cos5^\circ} =1. $$

б)

$$ \frac{\cos 40^\circ-\sqrt{3}\sin 40^\circ}{\sin 190^\circ} = \frac{\cos 40^\circ-\tan60^\circ\sin40^\circ}{\sin(180^\circ+10^\circ)} $$

Так как
$$ \tan60^\circ=\frac{\sin60^\circ}{\cos60^\circ}, \qquad \sin190^\circ=-\sin10^\circ, $$
то
$$ \cos40^\circ-\sqrt{3}\sin40^\circ = \cos40^\circ-\frac{\sin60^\circ}{\cos60^\circ}\sin40^\circ = \frac{\cos40^\circ\cos60^\circ-\sin60^\circ\sin40^\circ}{\cos60^\circ}. $$

По формуле косинуса суммы:
$$ \cos40^\circ\cos60^\circ-\sin60^\circ\sin40^\circ=\cos(40^\circ+60^\circ)=\cos100^\circ. $$

Значит,
$$ \frac{\cos 40^\circ-\sqrt{3}\sin 40^\circ}{\sin 190^\circ} = \frac{\cos100^\circ}{\cos60^\circ\sin190^\circ}. $$

Так как
$$ \cos100^\circ=-\sin10^\circ,\qquad \cos60^\circ=\frac12,\qquad \sin190^\circ=-\sin10^\circ, $$
получаем
$$ \frac{\cos100^\circ}{\cos60^\circ\sin190^\circ} = \frac{-\sin10^\circ}{\frac12\cdot(-\sin10^\circ)}=2. $$