Упр.26.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: a) y = sin(3пи + 3x) sin (3пи/2 — x) + sin (пи/2 + 3x) sin (4пи — x) + sin 99пи/2; б) y = cos(пи + 3x) cos (3пи — x/2) — cos (пи/2 + x) cos (3пи + x)/2 + cos 16пи/3.

Подробный ответ

а) Упростим выражение:

$$ y=\sin(3\pi+3x)\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)\sin(4\pi-x)+\sin\frac{99\pi}{2} $$
$$ \sin(3\pi+3x)=-\sin 3x,\quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x $$
$$ \sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=\cos 3x,\quad \sin(4\pi-x)=-\sin x,\quad \sin\frac{99\pi}{2}=-1 $$
$$ y=(-\sin 3x)(-\cos x)+(\cos 3x)(-\sin x)-1 $$
$$ y=\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x-1 $$
$$ y=\sin(3x-x)-1=\sin 2x-1 $$

График функции $$y=\sin 2x-1$$ получается из графика $$y=\sin x$$ сжатием к оси $$Oy$$ в 2 раза и сдвигом вниз на 1.

б) Упростим выражение:

$$ y=\cos(\pi+3x)\cos\left(3\pi-\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\cos\frac{3\pi+x}{2}+\cos\frac{16\pi}{3} $$
$$ \cos(\pi+3x)=-\cos 3x,\quad \cos\left(3\pi-\frac{x}{2}\right)=-\cos\frac{x}{2} $$
$$ \cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\quad \cos\frac{3\pi+x}{2}=\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)=\sin\frac{x}{2} $$
$$ \cos\frac{16\pi}{3}=\cos\left(4\pi+\frac{4\pi}{3}\right)=\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12 $$
$$ y=\cos 3x\cos\frac{x}{2}+\sin x\sin\frac{x}{2}-\frac12 $$
$$ \sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} $$
$$ y=\cos 3x\cos\frac{x}{2}+2\sin^2\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\frac12 $$
$$ \cos 3x\cos\frac{x}{2}+\sin x\sin\frac{x}{2} =\cos\left(3x-\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{5x}{2} $$
$$ y=\cos\frac{5x}{2}-\frac12 $$

График функции $$y=\cos\frac{5x}{2}-\frac12$$ получается из графика $$y=\cos x$$ сжатием к оси $$Oy$$ в $$\frac{2}{5}$$ раза и сдвигом вниз на $$\frac12$$.