Упр.26.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin2 x + cos2 2x + cos2 (3пи/2 + 2x) +2cos x tg x = 1; б) 2cos2 x — sin (x — пи/2) + tg x tg (x + пи/2) = 0.

Подробный ответ

а) Преобразуем выражение, используя тождества $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)=\sin 2x$$ и $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$$:

$$ \sin^2 x+\cos^2 2x+\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)+2\cos x \tg x=1 $$
$$ \sin^2 x+\cos^2 2x+\sin^2 2x+2\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}=1 $$
$$ \sin^2 x+1+2\sin x=1 $$
$$ \sin^2 x+2\sin x=0 $$
$$ \sin x(\sin x+2)=0 $$

Отсюда:

$$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-2. $$

Так как $$\sin x=-2$$ решений не имеет, то остаётся:

$$ \sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z. $$

б) Используем тождества $$\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x$$ и $$\tg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\ctg x$$:

$$ 2\cos^2 x-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\tg x \tg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0 $$
$$ 2\cos^2 x+\cos x-\tg x\cdot \ctg x=0 $$
$$ 2\cos^2 x+\cos x-1=0. $$

Положим $$y=\cos x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$ 2y^2+y-1=0 $$
$$ D=1+8=9 $$
$$ y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4} $$
$$ y_1=-1,\qquad y_2=\frac12. $$

1) Если $$\cos x=-1$$, то

$$ x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z. $$

2) Если $$\cos x=\frac12$$, то

$$ x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z. $$

При этом выражение имеет смысл при $$\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\ne 0$$, то есть $$x\ne \pi n$$. Полученные значения этому условию не противоречат.