Упр.26.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 3tg2 x/2 — 2ctg (3пи/2 + x/2) — 1 = 0; б) tg (пи + x) + 2 tg (пи/2 + x) + 1 = 0; в) 3tg2 4x — 2ctg (пи/2 — 4x) = 1; г) 2ctg x — 3ctg (пи/2 — x) +5 = 0.

1. а) Преобразуем уравнение:

   $$3\tg^2\frac{x}{2}-2\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)-1=0$$

   Так как $$\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)=\ctg\left(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)=-\tg\frac{x}{2},$$ получаем

   $$3\tg^2\frac{x}{2}+2\tg\frac{x}{2}-1=0.$$

   Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда

   $$3y^2+2y-1=0.$$

   $$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$

   $$y_1=\frac{-2-4}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{-2+4}{6}=\frac13.$$

   1) $$\tg\frac{x}{2}=-1,$$ значит

   $$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

   2) $$\tg\frac{x}{2}=\frac13,$$ значит

   $$\frac{x}{2}=\arctg\frac13+\pi n,\qquad x=2\arctg\frac13+2\pi n.$$

2. б) Используем формулы приведения:

   $$\tg(\pi+x)=\tg x,\qquad \tg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\ctg x.$$

   Тогда

   $$\tg x-2\ctg x+1=0.$$

   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда $$\ctg x=\frac1y$$, и получаем

   $$y-\frac{2}{y}+1=0,$$

   $$y^2+y-2=0.$$

   $$D=1+8=9,$$

   $$y_1=-2,\qquad y_2=1.$$

   1) $$\tg x=-2,$$ значит

   $$x=-\arctg 2+\pi n.$$

   2) $$\tg x=1,$$ значит

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

3. в) Преобразуем уравнение:

   $$3\tg^2 4x-2\ctg\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=1.$$

   Так как $$\ctg\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=\tg 4x,$$ получаем

   $$3\tg^2 4x-2\tg 4x-1=0.$$

   Пусть $$y=\tg 4x$$. Тогда

   $$3y^2-2y-1=0.$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$

   $$y_1=-\frac13,\qquad y_2=1.$$

   1) $$\tg 4x=-\frac13,$$ значит

   $$4x=-\arctg\frac13+\pi n,\qquad x=-\frac14\arctg\frac13+\frac{\pi n}{4}.$$

   2) $$\tg 4x=1,$$ значит

   $$4x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}.$$

4. г) Преобразуем уравнение:

   $$2\ctg x-3\ctg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+5=0.$$

   Так как $$\ctg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tg x,$$ имеем

   $$2\ctg x-3\tg x+5=0.$$

   Пусть $$y=\tg x$$, тогда $$\ctg x=\frac1y$$:

   $$\frac{2}{y}-3y+5=0,$$

   $$2-3y^2+5y=0,$$

   $$3y^2-5y-2=0.$$

   $$D=25+24=49,$$

   $$y_1=-\frac13,\qquad y_2=2.$$

   1) $$\tg x=-\frac13,$$ значит

   $$x=-\arctg\frac13+\pi n.$$

   2) $$\tg x=2,$$ значит

   $$x=\arctg 2+\pi n.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=2\arctg\frac13+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\arctg 2+\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=-\frac14\arctg\frac13+\frac{\pi n}{4},\; x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\; x=\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$