Упр.26.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin2 x + cos (пи/2 — x) sin (пи/2 — x) — 2cos2 x = 0; б) sin2 3x + 3cos2 3x — 4sin (пи/2 + 3x) cos (пи/2 + 3x) = 0; в) sin2 x + 2sin (пи — x) cos x — 3cos2 (2пи — x) = 0; г) sin2 (2пи — 3x) + 5sin (пи — 3x) cos 3x + 4sin2 (3пи/2 — 3x) = 0.

а) $$\sin^2 x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-2\cos^2 x=0$$

Используем формулы $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$$ и $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$$:

$$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0.$$

При $$\cos x\neq 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x+\tg x-2=0.$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^2+y-2=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$

Тогда

$$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n,$$

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

б) $$\sin^2 3x+3\cos^2 3x-4\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=0$$

Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=\cos 3x$$ и $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=-\sin 3x,$$ получаем:

$$\sin^2 3x+4\sin 3x\cos 3x+3\cos^2 3x=0.$$

При $$\cos 3x\neq 0$$ разделим на $$\cos^2 3x$$:

$$\tg^2 3x+4\tg 3x+3=0.$$

Пусть $$y=\tg 3x$$. Тогда

$$y^2+4y+3=0,$$

$$D=16-12=4,$$

$$y_1=-3,\qquad y_2=-1.$$

Следовательно,

$$\tg 3x=-3 \Rightarrow 3x=-\arctg 3+\pi n \Rightarrow x=-\frac{1}{3}\arctg 3+\frac{\pi n}{3},$$

$$\tg 3x=-1 \Rightarrow 3x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$

в) $$\sin^2 x+2\sin(\pi-x)\cos x-3\cos^2(2\pi-x)=0$$

Используем формулы $$\sin(\pi-x)=\sin x$$ и $$\cos(2\pi-x)=\cos x$$:

$$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0.$$

При $$\cos x\neq 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x+2\tg x-3=0.$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^2+2y-3=0,$$

$$D=4+12=16,$$

$$y_1=-3,\qquad y_2=1.$$

Значит,

$$\tg x=-3 \Rightarrow x=-\arctg 3+\pi n,$$

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

г) $$\sin^2(2\pi-3x)+5\sin(\pi-3x)\cos 3x+4\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)=0$$

Преобразуем тригонометрические функции:

$$\sin(2\pi-3x)=-\sin 3x,\qquad \sin(\pi-3x)=\sin 3x,\qquad \sin\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)=-\cos 3x.$$

Тогда

$$\sin^2 3x+5\sin 3x\cos 3x+4\cos^2 3x=0.$$

При $$\cos 3x\neq 0$$ разделим на $$\cos^2 3x$$:

$$\tg^2 3x+5\tg 3x+4=0.$$

Пусть $$y=\tg 3x$$. Тогда

$$y^2+5y+4=0,$$

$$D=25-16=9,$$

$$y_1=-4,\qquad y_2=-1.$$

Следовательно,

$$\tg 3x=-4 \Rightarrow 3x=-\arctg 4+\pi n \Rightarrow x=-\frac{1}{3}\arctg 4+\frac{\pi n}{3},$$

$$\tg 3x=-1 \Rightarrow 3x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$

Ответ

а) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n;$$
б) $$x=-\frac{1}{3}\arctg 3+\frac{\pi n}{3},\ -\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3};$$
в) $$x=-\arctg 3+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n;$$
г) $$x=-\frac{1}{3}\arctg 4+\frac{\pi n}{3},\ -\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$