Упр.26.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 2 tg2 2х + 3 tg (пи + 2х) = 0; б) tg2 Зх — 6 ctg (пи/2 — 3x) = 0

а) Преобразуем выражение:

$$2\tg^2 2x+3\tg(\pi+2x)=0.$$

Так как $$\tg(\pi+2x)=\tg 2x,$$ получаем

$$2\tg^2 2x+3\tg 2x=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$\tg 2x\,(2\tg 2x+3)=0.$$

Отсюда:

$$\tg 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\tg 2x+3=0.$$

1) Если $$\tg 2x=0,$$ то

$$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

2) Если $$2\tg 2x+3=0,$$ то

$$\tg 2x=-\frac{3}{2},$$

$$2x=-\arctg\frac{3}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=-\frac12\arctg\frac{3}{2}+\frac{\pi n}{2}.$$

б) Преобразуем выражение:

$$\tg^2 3x-6\ctg\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=0.$$

Так как $$\ctg\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=\tg 3x,$$ получаем

$$\tg^2 3x-6\tg 3x=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$\tg 3x\,(\tg 3x-6)=0.$$

Отсюда:

$$\tg 3x=0 \quad \text{или} \quad \tg 3x=6.$$

1) Если $$\tg 3x=0,$$ то

$$3x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{3}.$$

2) Если $$\tg 3x=6,$$ то

$$3x=\arctg 6+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{1}{3}\arctg 6+\frac{\pi n}{3}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\; -\frac12\arctg\frac{3}{2}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi n}{3},\; \frac{1}{3}\arctg 6+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$