Упр.26.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 2sin2 (пи + x) — 5cos (пи/2 + x) + 2 = 0; б) 2cos2 x + 5cos (пи/2 — x) — 4 = 0; в) 2cos2 x + sin (пи/2 — x) — 1 = 0; г) 5 — 5sin 3(пи — x) = cos2 (пи — 3x).
$$2\sin^2(\pi+x)-5\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+2=0$$
$$2\sin^2 x+5\sin x+2=0$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2+5y+2=0$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$$
$$y_1=\frac{-5-3}{4}=-2,\qquad y_2=\frac{-5+3}{4}=-\frac12$$
Значение $$\sin x=-2$$ не подходит, так как $$-1\le \sin x\le 1$$.
Остаётся $$\sin x=-\frac12$$, откуда
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$2\cos^2 x+5\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-4=0$$
$$2\cos^2 x+5\sin x-4=0$$
Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$, получаем
$$2(1-\sin^2 x)+5\sin x-4=0$$
$$2\sin^2 x-5\sin x+2=0$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2-5y+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$y_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{5+3}{4}=2$$
Значение $$\sin x=2$$ не подходит.
При $$\sin x=\frac12$$ имеем
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$2\cos^2 x+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-1=0$$
$$2\cos^2 x+\cos x-1=0$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2+y-1=0$$
$$D=1+8=9$$
$$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12$$
Если $$\cos x=-1$$, то
$$x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Если $$\cos x=\frac12$$, то
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$5-5\sin 3(\pi-x)=\cos^2(\pi-3x)$$
$$5-5\sin(3\pi-3x)=\cos^2(3x)$$
$$\sin(3\pi-3x)=\sin 3x,\qquad \cos(\pi-3x)=-\cos 3x$$
Тогда
$$5-5\sin 3x=\cos^2 3x$$
$$5-5\sin 3x=1-\sin^2 3x$$
$$\sin^2 3x-5\sin 3x+4=0$$
Пусть $$y=\sin 3x$$. Тогда
$$y^2-5y+4=0$$
$$D=25-16=9$$
$$y_1=1,\qquad y_2=4$$
Значение $$\sin 3x=4$$ не подходит.
При $$\sin 3x=1$$ имеем
$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=\pi+2\pi n,\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$
