Упр.26.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 3sin2 x/2 + sin x/2 sin (пи/2 — x/2) = 2; б) 2cos2 x/2 — 3sin (пи — x/2) cos (2пи — x/2) + 7sin2 x/2 = 3; в) 4 cos2 (пи/2 + x) + корень3 sin (3пи/2 — x) sin (пи + x) + 3 cos2 (пи + x) = 3; г) 3sin2 (x — 3пи/2) — 2cos (3пи/2 + x) cos (пи + x) + 2sin2 (x — пи) = 2.

1. а)

   $$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)=2$$

   $$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2$$

   $$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-2\cos^2\frac{x}{2}=0$$

   $$\cos^2\frac{x}{2}\neq 0,\quad \text{делим на } \cos^2\frac{x}{2}:$$

   $$3\tg^2\frac{x}{2}+\tg\frac{x}{2}-2=0$$

   Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда
   $$3y^2+y-2=0,$$
   $$D=1+24=25,$$
   $$y_1=\frac{-1-5}{6}=-1,\quad y_2=\frac{-1+5}{6}=\frac23.$$

   Значит,
   $$\tg\frac{x}{2}=-1 \quad \text{или} \quad \tg\frac{x}{2}=\frac23.$$

   Отсюда
   $$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{2}=\arctg\frac23+\pi n,$$
   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=2\arctg\frac23+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б)

   $$2\cos^2\frac{x}{2}-3\sin\left(\pi-\frac{x}{2}\right)\cos\left(2\pi-\frac{x}{2}\right)+7\sin^2\frac{x}{2}=3$$

   $$2\cos^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+7\sin^2\frac{x}{2}=3$$

   $$7\sin^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+2\cos^2\frac{x}{2}=3$$

   $$4\sin^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}=0$$

   $$\cos^2\frac{x}{2}\neq 0,\quad \text{делим на } \cos^2\frac{x}{2}:$$

   $$4\tg^2\frac{x}{2}-3\tg\frac{x}{2}-1=0$$

   Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда
   $$4y^2-3y-1=0,$$
   $$D=9+16=25,$$
   $$y_1=\frac{3-5}{8}=-\frac14,\quad y_2=\frac{3+5}{8}=1.$$

   Значит,
   $$\tg\frac{x}{2}=-\frac14 \quad \text{или} \quad \tg\frac{x}{2}=1.$$

   Отсюда
   $$\frac{x}{2}=-\arctg\frac14+\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
   $$x=-2\arctg\frac14+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в)

   $$4\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sqrt3\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\sin(\pi+x)+3\cos^2(\pi+x)=3$$

   $$4(-\sin x)^2+\sqrt3(-\cos x)(-\sin x)+3(-\cos x)^2=3$$

   $$4\sin^2 x+\sqrt3\sin x\cos x+3\cos^2 x=3$$

   $$\sin^2 x+\sqrt3\sin x\cos x=0$$

   $$\sin x(\sin x+\sqrt3\cos x)=0$$

   Отсюда
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \tg x=-\sqrt3.$$

   Тогда
   $$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г)

   $$3\sin^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)-2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\cos(\pi+x)+2\sin^2(x-\pi)=2$$

   $$3\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)-2\sin x(-\cos x)+2\sin^2(\pi-x)=2$$

   $$3(-\cos x)^2+2\sin x\cos x+2\sin^2 x=2$$

   $$3\cos^2 x+2\sin x\cos x+2\sin^2 x=2$$

   $$\cos^2 x+2\sin x\cos x=0$$

   $$\cos x(\cos x+2\sin x)=0$$

   Отсюда
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac12.$$

   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=2\arctg\frac23+2\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

б) $$x=-2\arctg\frac14+2\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

в) $$x=\pi n,\; x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=-\arctg\frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$