Упр.26.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin (пи/2 + 2x) + cos (пи/2 — 2x) = 0 б) 2 sin (пи — 3x) + cos (2пи — 3x) = 0.
а) Преобразуем выражение, используя формулы приведения:
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)=\cos 2x,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\sin 2x.$$
Тогда уравнение принимает вид:
$$\cos 2x+\sin 2x=0.$$
Так как $$\cos 2x\neq 0$$ при делении на $$\cos 2x$$ не теряем корни:
$$1+\tg 2x=0,$$
$$\tg 2x=-1.$$
Отсюда
$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Следовательно,
$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) Используем формулы приведения:
$$\sin(\pi-3x)=\sin 3x,\qquad \cos(2\pi-3x)=\cos 3x.$$
Тогда уравнение имеет вид:
$$2\sin 3x+\cos 3x=0.$$
Так как $$\cos 3x\neq 0$$ при делении на $$\cos 3x$$, получаем:
$$2\tg 3x+1=0,$$
$$\tg 3x=-\frac12.$$
Отсюда
$$3x=\arctg\left(-\frac12\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Следовательно,
$$x=-\frac13\arctg\frac12+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Ответ
а) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$x=-\frac13\arctg\frac12+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}.$$
