Упр.26.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 5sin (пи/2 + х) — sin (3пи/2 + х) — 8cos (2пи — х)= 1; б) sin (2пи + х) — cos (пи/2 — х) + sin (пи — х)= 1;

1. а) Преобразуем тригонометрические функции:

   $$5\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-8\cos(2\pi-x)=1$$
   $$5\cos x-(-\cos x)-8\cos x=1$$
   $$6\cos x-8\cos x=1$$
   $$-2\cos x=1$$
   $$\cos x=-\frac12$$

   Тогда

   $$x=\pm \arccos\left(-\frac12\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. б) Аналогично преобразуем выражение:

   $$\sin(2\pi+x)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin(\pi-x)=1$$
   $$\sin x-\sin x+\sin x=1$$
   $$\sin x=1$$

   Отсюда

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$