Упр.26.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 2cos (2пи + х) + sin (пи/2 + х) = 3; б) sin (пи + х) + 2cos (пи/2 + х) = 3; в) 2sin (пи + х) + cos (пи/2 — х) = -1/2; г) 3sin (пи/2 + х) — cos (2пи + х) = 1.
$$2\cos(2\pi+x)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=3$$
Используем формулы приведения:
$$\cos(2\pi+x)=\cos x,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x.$$
Тогда
$$2\cos x+\cos x=3,$$
$$3\cos x=3,$$
$$\cos x=1.$$
Отсюда
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sin(\pi+x)+2\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=3$$
Используем формулы приведения:
$$\sin(\pi+x)=-\sin x,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x.$$
Тогда
$$-\sin x-2\sin x=3,$$
$$-3\sin x=3,$$
$$\sin x=-1.$$
Следовательно,
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$2\sin(\pi+x)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\frac12$$
Используем формулы приведения:
$$\sin(\pi+x)=-\sin x,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x.$$
Тогда
$$-2\sin x+\sin x=-\frac12,$$
$$-\sin x=-\frac12,$$
$$\sin x=\frac12.$$
Общее решение:
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$3\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)-\cos(2\pi+x)=1$$
Используем формулы приведения:
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x,\qquad \cos(2\pi+x)=\cos x.$$
Тогда
$$3\cos x-\cos x=1,$$
$$2\cos x=1,$$
$$\cos x=\frac12.$$
Следовательно,
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
