Упр.26.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (cos 105° cos 5° + sin 105° cos 85°) / (sin 195° cos 5° + cos 195° sin 185°); б) (sin 75° cos 5° — cos 75° cos 85°) / (cos 375° cos 5° — sin 15° sin 365°).

Подробный ответ

а)

$$ \frac{\cos 105^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cdot \cos 85^\circ} {\sin 195^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 195^\circ \cdot \sin 185^\circ} $$

Используем формулы приведения:
$$ \cos 105^\circ=\cos(90^\circ+15^\circ)=-\sin 15^\circ,\quad \sin 105^\circ=\sin(90^\circ+15^\circ)=\cos 15^\circ, $$
$$ \cos 85^\circ=\cos(90^\circ-5^\circ)=\sin 5^\circ, $$
$$ \sin 195^\circ=\sin(180^\circ+15^\circ)=-\sin 15^\circ,\quad \cos 195^\circ=\cos(180^\circ+15^\circ)=-\cos 15^\circ, $$
$$ \sin 185^\circ=\sin(180^\circ+5^\circ)=-\sin 5^\circ. $$

Тогда
$$ \frac{-\sin 15^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ} {-\sin 15^\circ \cdot \cos 5^\circ + (-\cos 15^\circ)\cdot(-\sin 5^\circ)} = \frac{\cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \cos 5^\circ} {\cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \cos 5^\circ} =1. $$

б)

$$ \frac{\sin 75^\circ \cdot \cos 5^\circ — \cos 75^\circ \cdot \cos 85^\circ} {\cos 375^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 365^\circ} $$

Приведём углы:
$$ \sin 75^\circ=\sin(90^\circ-15^\circ)=\cos 15^\circ,\quad \cos 75^\circ=\cos(90^\circ-15^\circ)=\sin 15^\circ, $$
$$ \cos 85^\circ=\cos(90^\circ-5^\circ)=\sin 5^\circ, $$
$$ \cos 375^\circ=\cos(360^\circ+15^\circ)=\cos 15^\circ,\quad \sin 365^\circ=\sin(360^\circ+5^\circ)=\sin 5^\circ. $$

Тогда
$$ \frac{\cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 5^\circ} {\cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 5^\circ} =1. $$