Упр.26.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin (пи/6 + t) cos (пи/3 — t) + sin (2пи/3 + t) sin (пи/3 — t); 6) cos (пи/4 + t) cos (пи/12 — t) — cos (пи/4 — t) cos (5пи/12 + t).

Подробный ответ

а)

$$ \sin\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}-t\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{3}+t\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}-t\right) $$
$$ =\sin\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}-t\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}+t\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}-t\right) $$
$$ =\sin\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}-t\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}-t\right) $$
$$ =\sin\left(\left(\frac{\pi}{6}+t\right)+\left(\frac{\pi}{3}-t\right)\right) =\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1. $$

б)

$$ \cos\left(\frac{\pi}{4}+t\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-t\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)\cos\left(\frac{5\pi}{12}+t\right) $$
$$ =\cos\left(\frac{\pi}{4}+t\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-t\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{12}-t\right)\right) $$
$$ =\cos\left(\frac{\pi}{4}+t\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-t\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)\sin\left(\frac{\pi}{12}-t\right) $$
$$ =\cos\left(\left(\frac{\pi}{4}+t\right)+\left(\frac{\pi}{12}-t\right)\right) =\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac12. $$