Упр.26.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите тождество: a) (tg (пи — t) / cos (пи + t)) (sin (3пи/2 + t) / tg (3пи/2 — t)) = tg2 t; б) (sin (пи — t) / tg (пи + t)) (ctg (пи/2 — t) / tg (пи/2 + t)) (cos (2пи — t) / sin (-t)) = sin t;; в) (cos2 (пи — t) + sin2 (пи/2 — t) + cos (пи + t) cos (2пи — t)) / (tg2 (t — пи/2) ctg2 (3пи/2 + t)); г) (sin2 (t — 3пи/2) cos (2пи — t)) / (tg2 (t — пи/2) cos2 (t — 3пи/2)) = cos t.

Подробный ответ

а)
$$\frac{\tg(\pi-t)}{\cos(\pi+t)}\cdot\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)}{\tg\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)}$$
$$=\frac{-\tg t}{-\cos t}\cdot\frac{-\cos t}{-\ctg t}$$
$$=\tg t\cdot\frac{1}{\ctg t}=\tg t\cdot\tg t=\tg^2 t.$$
б)
$$\frac{\sin(\pi-t)}{\tg(\pi+t)}\cdot\frac{\ctg\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{\tg\left(\frac{\pi}{2}+t\right)}\cdot\frac{\cos(2\pi-t)}{\sin(-t)}$$
$$=\frac{\sin t}{\tg t}\cdot\frac{\tg t}{-\ctg t}\cdot\frac{\cos t}{-\sin t}$$
$$=\frac{\sin t}{\tg t}\cdot\frac{\tg t}{\ctg t}\cdot\frac{\cos t}{\sin t}$$
$$=\frac{\cos t}{\ctg t}=\sin t.$$
в)
$$\frac{\cos^2(\pi-t)+\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\cos(\pi+t)\cos(2\pi-t)}{\tg^2\left(t-\frac{\pi}{2}\right)\ctg^2\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)}$$
$$=\frac{(-\cos t)^2+\cos^2 t-\cos t\cdot\cos t}{\left(-\tg\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\right)^2\cdot\tg^2 t}$$
$$=\frac{\cos^2 t+\cos^2 t-\cos^2 t}{(-\ctg t)^2\cdot\tg^2 t}$$
$$=\frac{\cos^2 t}{\ctg^2 t\cdot\tg^2 t}=\frac{\cos^2 t}{1}=\cos^2 t.$$
г)
$$\frac{\sin^2\left(t-\frac{3\pi}{2}\right)\cos(2\pi-t)}{\tg^2\left(t-\frac{\pi}{2}\right)\cos^2\left(t-\frac{3\pi}{2}\right)}$$
$$=\frac{\left(-\sin\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)\right)^2\cdot\cos t}{\left(-\tg\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\right)^2\cdot\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)}$$
$$=\frac{\cos^2 t\cdot\cos t}{(-\ctg t)^2\cdot(-\sin t)^2}$$
$$=\frac{\cos^3 t}{\ctg^2 t\cdot\sin^2 t}=\frac{\cos^3 t}{\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}\cdot\sin^2 t}=\cos t.$$