Упр.25.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что значение выражения (tg (а-b) — tg a + tg b)/(tg (a-b) tg b) не зависит от значения b.

Преобразуем числитель:

$$ \tg(a-b)-\tg a+\tg b=\tg(a-b)-(\tg a-\tg b). $$

Используем формулу разности тангенсов:

$$ \tg(a-b)=\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot\tg b}. $$

Тогда

$$ \tg(a-b)-(\tg a-\tg b)=\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot\tg b}-(\tg a-\tg b) $$
$$ =\frac{(\tg a-\tg b)-(\tg a-\tg b)(1+\tg a\cdot\tg b)}{1+\tg a\cdot\tg b} $$
$$ =\frac{(\tg a-\tg b)\bigl(1-1-\tg a\cdot\tg b\bigr)}{1+\tg a\cdot\tg b} =-\frac{(\tg a-\tg b)\tg a\cdot\tg b}{1+\tg a\cdot\tg b}. $$

Но

$$ \tg(a-b)=\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot\tg b}, $$

значит, числитель исходной дроби равен

$$ -\tg(a-b)\cdot\tg a\cdot\tg b. $$

Подставим это в исходное выражение:

$$ \frac{\tg(a-b)-\tg a+\tg b}{\tg(a-b)\cdot\tg a\cdot\tg b} = \frac{-\tg(a-b)\cdot\tg a\cdot\tg b}{\tg(a-b)\cdot\tg a\cdot\tg b} =-1. $$

Следовательно, значение выражения не зависит от $b$.

Ответ

$$-1$$