Упр.25.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (tg2 2х — tg2 x)/(1 — tg2 2х tg2 x) = tg 3x tg x; б) (tg2 30° — tg2 15°)/(1 — tg2 30° tg2 15°) = tg 15°.

Используем формулу разности квадратов и формулу тангенса суммы и разности:

$$ \frac{\tg^2 A-\tg^2 B}{1-\tg^2 A\cdot \tg^2 B} = \frac{(\tg A-\tg B)(\tg A+\tg B)}{(1-\tg A\cdot \tg B)(1+\tg A\cdot \tg B)} = \tg(A-B)\cdot \tg(A+B). $$

а) При $$A=2x$$ и $$B=x$$ получаем:

$$ \frac{\tg^2 2x-\tg^2 x}{1-\tg^2 2x\cdot \tg^2 x} = \frac{(\tg 2x-\tg x)(\tg 2x+\tg x)}{(1-\tg 2x\cdot \tg x)(1+\tg 2x\cdot \tg x)} = \tg(2x-x)\cdot \tg(2x+x). $$

$$ \tg(2x-x)\cdot \tg(2x+x)=\tg x\cdot \tg 3x=\tg 3x\cdot \tg x. $$

Тождество доказано.

б) При $$A=30^\circ$$ и $$B=15^\circ$$ получаем:

$$ \frac{\tg^2 30^\circ-\tg^2 15^\circ}{1-\tg^2 30^\circ\cdot \tg^2 15^\circ} = \frac{(\tg 30^\circ-\tg 15^\circ)(\tg 30^\circ+\tg 15^\circ)}{(1-\tg 30^\circ\cdot \tg 15^\circ)(1+\tg 30^\circ\cdot \tg 15^\circ)} = \tg(30^\circ-15^\circ)\cdot \tg(30^\circ+15^\circ). $$

$$ \tg(30^\circ-15^\circ)\cdot \tg(30^\circ+15^\circ) = \tg 15^\circ\cdot \tg 45^\circ = \tg 15^\circ\cdot 1 = \tg 15^\circ. $$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$\frac{\tg^2 2x-\tg^2 x}{1-\tg^2 2x\cdot \tg^2 x}=\tg 3x\cdot \tg x$$; б) $$\frac{\tg^2 30^\circ-\tg^2 15^\circ}{1-\tg^2 30^\circ\cdot \tg^2 15^\circ}=\tg 15^\circ$$.