Упр.25.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) tg (а + b) — (tg а + tg b) = tg (а + b) tg а tg b; б) tg (а — b) — (tg а — tg b) = tg (b — a) tg а tg b.

Используем формулы сложения и вычитания тангенса:

$$ \tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot \tg b}, \qquad \tg(a-b)=\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot \tg b}. $$

1. $$\tg(a+b)-(\tg a+\tg b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot \tg b}-(\tg a+\tg b).$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \tg(a+b)-(\tg a+\tg b)= \frac{\tg a+\tg b-(\tg a+\tg b)(1-\tg a\cdot \tg b)}{1-\tg a\cdot \tg b}. $$

   $$ =\frac{(\tg a+\tg b)\tg a\cdot \tg b}{1-\tg a\cdot \tg b} =\tg(a+b)\cdot \tg a\cdot \tg b. $$

   Тождество доказано.

2. $$\tg(a-b)-(\tg a-\tg b)=\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot \tg b}-(\tg a-\tg b).$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \tg(a-b)-(\tg a-\tg b)= \frac{\tg a-\tg b-(\tg a-\tg b)(1+\tg a\cdot \tg b)}{1+\tg a\cdot \tg b}. $$

   $$ =\frac{-(\tg a-\tg b)\tg a\cdot \tg b}{1+\tg a\cdot \tg b} =\frac{(\tg b-\tg a)\tg a\cdot \tg b}{1+\tg a\cdot \tg b}. $$

   Так как $$\tg(b-a)=\frac{\tg b-\tg a}{1+\tg a\cdot \tg b},$$ то

   $$ \tg(a-b)-(\tg a-\tg b)=\tg(b-a)\cdot \tg a\cdot \tg b. $$

   Тождество доказано.

Ответ

$$ \begin{aligned} &\text{a) } \tg(a+b)-(\tg a+\tg b)=\tg(a+b)\cdot \tg a\cdot \tg b,\\ &\text{б) } \tg(a-b)-(\tg a-\tg b)=\tg(b-a)\cdot \tg a\cdot \tg b. \end{aligned} $$