Упр.25.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите тождество: a) (1-tg a)/(1+tg a) = tg (45° — a); б) tg (3пи/4 — x) + tg x = tg (3пи/4 — x) tg x — 1; в) (tg a + tg b)/(tg (a+b)) + (tg a — tg b)/(tg (a-b)) = 2; г) tg (a+пи/4) — tg a = 1 + tg (пи/4+a) tg a.

1. Используем формулу тангенса разности:

   $$ \tg(45^\circ-a)=\frac{\tg45^\circ-\tg a}{1+\tg45^\circ\cdot\tg a} =\frac{1-\tg a}{1+\tg a}. $$

   Следовательно,

   $$ \frac{1-\tg a}{1+\tg a}=\tg(45^\circ-a). $$

2. Преобразуем левую часть, используя формулу суммы тангенсов:

   $$ \tg\left(\frac{3\pi}{4}-x\right)=\frac{\tg\frac{3\pi}{4}-\tg x}{1+\tg\frac{3\pi}{4}\cdot\tg x} =\frac{-1-\tg x}{1-\tg x}. $$

   Тогда

   $$ \tg\left(\frac{3\pi}{4}-x\right)+\tg x =\frac{-1-\tg x}{1-\tg x}+\tg x =\frac{\tg x+1}{\tg x-1}. $$

   Правая часть:

   $$ \tg\left(\frac{3\pi}{4}-x\right)\tg x-1 =\frac{-1-\tg x}{1-\tg x}\cdot\tg x-1 =\frac{\tg x+1}{\tg x-1}. $$

   Левая и правая части равны, тождество доказано.

3. Преобразуем дроби по формулам суммы и разности тангенсов:

   $$ \frac{\tg a+\tg b}{\tg(a+b)}+\frac{\tg a-\tg b}{\tg(a-b)} =\frac{\tg a+\tg b}{\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot\tg b}} +\frac{\tg a-\tg b}{\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot\tg b}}. $$

   Сокращаем:

   $$ (1-\tg a\cdot\tg b)+(1+\tg a\cdot\tg b)=2. $$

   Значит,

   $$ \frac{\tg a+\tg b}{\tg(a+b)}+\frac{\tg a-\tg b}{\tg(a-b)}=2. $$

4. Используем формулу разности тангенсов:

   $$ \tg\left(a+\frac{\pi}{4}\right)-\tg a =\frac{\tg a+1}{1-\tg a}-\tg a. $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{\tg a+1-\tg a(1-\tg a)}{1-\tg a} =\frac{1+\tg^2 a}{1-\tg a}. $$

   Правая часть:

   $$ 1+\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\tg a =1+\frac{1+\tg a}{1-\tg a}\cdot\tg a =\frac{1+\tg^2 a}{1-\tg a}. $$

   Следовательно, тождество верно.

Ответ

Все четыре равенства являются тождествами.