Упр.25.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (tg (пи/8 + a) + tg (пи/8 — a))/(1 — tg (пи/8 + a) tg (пи/8 — a)); б) (tg (45° + a) — tg a)/(1 + tg (45° + a) tg a).

Используем формулы сложения и вычитания тангенса:

$$ \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}, \qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}. $$

1. $$\frac{\tg\left(\frac{\pi}{8}+a\right)+\tg\left(\frac{\pi}{8}-a\right)}{1-\tg\left(\frac{\pi}{8}+a\right)\tg\left(\frac{\pi}{8}-a\right)}=\tg\left(\left(\frac{\pi}{8}+a\right)+\left(\frac{\pi}{8}-a\right)\right).$$

   $$\tg\left(\left(\frac{\pi}{8}+a\right)+\left(\frac{\pi}{8}-a\right)\right)=\tg\frac{\pi}{4}=1.$$

2. $$\frac{\tg(45^\circ+a)-\tg a}{1+\tg(45^\circ+a)\tg a}=\tg\bigl((45^\circ+a)-a\bigr).$$

   $$\tg\bigl((45^\circ+a)-a\bigr)=\tg45^\circ=1.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$1$$.