Упр.25.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Точка К — середина стороны CD квадрата ABCD. Чему равен тангенс острого угла между диагональю АС и отрезком ВК?

Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда $$CD=a$$, а так как точка $$K$$ — середина стороны $$CD$$, то

$$CK=\frac{a}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCK$$. В нём

$$BC=a,\qquad CK=\frac{a}{2},$$

поэтому

$$\tg \angle BKC=\frac{BC}{CK}=\frac{a}{a/2}=2.$$

Диагональ квадрата $$AC$$ образует со стороной $$CD$$ угол $$45^\circ$$, значит

$$\tg \angle ACD=1.$$

Искомый острый угол между прямыми $$AC$$ и $$BK$$ равен углу $$CEK$$, где

$$\angle CEK=180^\circ-\angle ACD-\angle BKC.$$

Тогда

$$\tg \angle CEK=\tg\!\left(180^\circ-45^\circ-\arctg 2\right)=-\tg\!\left(45^\circ+\arctg 2\right).$$

Используем формулу тангенса суммы:

$$ \tg\!\left(45^\circ+\arctg 2\right)= \frac{\tg 45^\circ+\tg(\arctg 2)}{1-\tg 45^\circ\cdot \tg(\arctg 2)} = \frac{1+2}{1-1\cdot 2} = -3. $$

Следовательно,

$$\tg \angle CEK=3.$$

Ответ

$$3$$