Упр.25.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: a) tg (пи/4 + arctg 2/7); б) tg (3пи/4 — arccos (-3/5)); в) tg (пи/3 + arctg 1/3); г) tg (arcsin 4/5 + arcctg 3/4).

Подробный ответ

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}+\arctg\frac{2}{7}\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{4}+\tg\left(\arctg\frac{2}{7}\right)}{1-\tg\frac{\pi}{4}\cdot\tg\left(\arctg\frac{2}{7}\right)}$$
$$=\frac{1+\frac{2}{7}}{1-1\cdot\frac{2}{7}}=\frac{\frac{9}{7}}{\frac{5}{7}}=\frac{9}{5}.$$
Обозначим $$t=\arccos\left(-\frac{3}{5}\right).$$ Тогда
$$\cos t=-\frac{3}{5}, \qquad \sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$
Так как $$t\in[0;\pi],$$ то $$\sin t>0,$$ и
$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{4/5}{-3/5}=-\frac{4}{3}.$$
Теперь
$$\tg\left(\frac{3\pi}{4}-t\right)=\frac{\tg\frac{3\pi}{4}-\tg t}{1+\tg\frac{3\pi}{4}\cdot\tg t}$$
$$=\frac{-1-(-\frac{4}{3})}{1+(-1)\cdot(-\frac{4}{3})} =\frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}}=\frac{1}{7}.$$
Обозначим $$t=\arctg\frac{1}{3}.$$ Тогда
$$\tg t=\frac{1}{3}.$$
Используем формулу:
$$\tg\left(\frac{\pi}{3}+t\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{3}+\tg t}{1-\tg\frac{\pi}{3}\cdot\tg t}$$
$$=\frac{\sqrt{3}+\frac{1}{3}}{1-\sqrt{3}\cdot\frac{1}{3}} =\frac{3\sqrt{3}+1}{3-\sqrt{3}}.$$
Рационализуем знаменатель:
$$\frac{3\sqrt{3}+1}{3-\sqrt{3}}\cdot\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} =\frac{(3\sqrt{3}+1)(3+\sqrt{3})}{9-3} =\frac{10+6\sqrt{3}}{6} =\frac{5+3\sqrt{3}}{3}.$$
Обозначим
$$a=\arcsin\frac{4}{5}, \qquad b=\arcctg\frac{3}{4}.$$
Тогда
$$\sin a=\frac{4}{5}, \qquad \cos a=\sqrt{1-\sin^2 a}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5},$$
значит
$$\tg a=\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}.$$
Для угла $$b$$ имеем
$$\ctg b=\frac{3}{4}, \qquad \tg b=\frac{4}{3}.$$
Тогда
$$\tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot\tg b} =\frac{\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}{1-\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{3}} =\frac{\frac{8}{3}}{1-\frac{16}{9}} =\frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} =-\frac{24}{7}.$$