Упр.25.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите Р, если известно, что tg (а + Р) = -3, tg (а — b) = 1/3 и пи/2 < b < пи.

Обозначим $$x=\tg a$$, $$y=\tg \beta$$. Тогда по формулам тангенса суммы и разности:

$$\frac{x+y}{1-xy}=-3,$$

$$\frac{x-y}{1+xy}=\frac13.$$

Из второго уравнения получаем:

$$3(x-y)=1+xy,$$

$$3x-3y=1+xy,$$

$$x(3-y)=1+3y,$$

$$x=\frac{1+3y}{3-y}.$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$\frac{\frac{1+3y}{3-y}+y}{1-y\cdot \frac{1+3y}{3-y}}=-3.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$3-y$$:

$$\frac{1+3y+y(3-y)}{3-y-y(1+3y)}=-3,$$

$$\frac{1+6y-y^2}{3-2y-3y^2}=-3.$$

Тогда

$$1+6y-y^2=-9+6y+9y^2,$$

$$10y^2=10,$$

$$y^2=1,$$

$$y=\pm 1.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<\beta<\pi,$$ то $$\tg \beta<0,$$ значит $$y=-1.$$

Следовательно,

$$\tg \beta=-1,$$

$$\beta=\frac{3\pi}{4}.$$

Ответ

$$\frac{3\pi}{4}$$