Упр.25.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите систему уравнений: a) tg (x + y) = -3, 2tg x — tg y = 0; б) tg (x — y) = -1/2, 2tg x + tg y = 5.

а) Обозначим $$\tg x=a,\quad \tg y=b.$$ Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} \dfrac{a+b}{1-ab}=-3,\\ 2a-b=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения $$b=2a.$$ Подставим в первое:

$$ \dfrac{a+2a}{1-a\cdot 2a}=-3 $$

$$ \dfrac{3a}{1-2a^2}=-3 $$

$$ \dfrac{a}{1-2a^2}=-1 $$

$$ a=2a^2-1 $$

$$ 2a^2-a-1=0 $$

$$ D=1+8=9,\quad a_{1,2}=\dfrac{1\pm 3}{4} $$

$$ a_1=-\dfrac12,\quad a_2=1 $$

Тогда

$$ b_1=2a_1=-1,\quad b_2=2a_2=2. $$

Получаем две пары значений:

$$ \tg x=-\dfrac12,\quad \tg y=-1; $$

$$ \tg x=1,\quad \tg y=2. $$

Следовательно,

$$ x=-\arctg \dfrac12+\pi n,\quad y=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k; $$

$$ x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\quad y=\arctg 2+\pi k, $$

где $$n,k\in\mathbb Z.$$

б) Обозначим $$\tg x=a,\quad \tg y=b.$$ Тогда

$$ \begin{cases} \dfrac{a-b}{1+ab}=-\dfrac12,\\ 2a+b=5. \end{cases} $$

Из второго уравнения $$b=5-2a.$$ Подставим в первое:

$$ \dfrac{a-(5-2a)}{1+a(5-2a)}=-\dfrac12 $$

$$ \dfrac{3a-5}{1+5a-2a^2}=-\dfrac12 $$

$$ 2(3a-5)=-(1+5a-2a^2) $$

$$ 6a-10=-1-5a+2a^2 $$

$$ 2a^2-11a+9=0 $$

$$ D=121-72=49,\quad a_{1,2}=\dfrac{11\pm 7}{4} $$

$$ a_1=1,\quad a_2=\dfrac{9}{2} $$

Тогда

$$ b_1=5-2\cdot 1=3,\quad b_2=5-2\cdot \dfrac92=-4. $$

Получаем:

$$ \tg x=1,\quad \tg y=3; $$

$$ \tg x=\dfrac92,\quad \tg y=-4. $$

Следовательно,

$$ x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\quad y=\arctg 3+\pi k; $$

$$ x=\arctg \dfrac92+\pi n,\quad y=-\arctg 4+\pi k, $$

где $$n,k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\left(-\arctg \dfrac12+\pi n;\,-\dfrac{\pi}{4}+\pi k\right),\ \left(\dfrac{\pi}{4}+\pi n;\,\arctg 2+\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(\dfrac{\pi}{4}+\pi n;\,\arctg 3+\pi k\right),\ \left(\arctg \dfrac92+\pi n;\,-\arctg 4+\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$