Упр.25.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (tg 25° + tg 20°)/(1 — tg 25°tg 20°); б) (tg 9° + tg 51°)/(1 — tg 9°tg 51°); в) (1 — tg 70°tg 65°)/(tg 70° + tg 65°); г) (1+ tg 54° tg 9°)/(tg 54° — tg 9°).

1. $$\frac{\tg 25^\circ+\tg 20^\circ}{1-\tg 25^\circ \tg 20^\circ}=\tg(25^\circ+20^\circ)=\tg 45^\circ=1.$$
2. $$\frac{1-\tg 70^\circ \tg 65^\circ}{\tg 70^\circ+\tg 65^\circ}=\frac{1}{\tg 70^\circ+\tg 65^\circ}\cdot\left(1-\tg 70^\circ \tg 65^\circ\right).$$
   Используем формулу
   $$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{1-\tg \alpha \tg \beta}.$$
   Тогда
   $$\frac{1-\tg 70^\circ \tg 65^\circ}{\tg 70^\circ+\tg 65^\circ}=\frac{1}{\tg(70^\circ+65^\circ)}=\frac{1}{\tg 135^\circ}=\ctg 135^\circ=-1.$$
3. $$\frac{\tg 9^\circ+\tg 51^\circ}{1-\tg 9^\circ \tg 51^\circ}=\tg(9^\circ+51^\circ)=\tg 60^\circ=\sqrt{3}.$$
4. $$\frac{1+\tg 54^\circ \tg 9^\circ}{\tg 54^\circ-\tg 9^\circ}=\frac{1}{\tg 54^\circ-\tg 9^\circ}\cdot\left(1+\tg 54^\circ \tg 9^\circ\right).$$
   По формуле
   $$\ctg(\alpha-\beta)=\frac{1+\tg \alpha \tg \beta}{\tg \alpha-\tg \beta}$$
   получаем
   $$\frac{1+\tg 54^\circ \tg 9^\circ}{\tg 54^\circ-\tg 9^\circ}=\ctg(54^\circ-9^\circ)=\ctg 45^\circ=1.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$-1$$; в) $$\sqrt{3}$$; г) $$1$$.