Упр.25.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) (tg пи/5 + tg x)/(1 — tg пи/5 tg x) < 1 б) (tg 3x - 1)/(tg 3x + 1) > 1.

а)

$$ \frac{\tg \frac{\pi}{5}+\tg x}{1-\tg \frac{\pi}{5}\tg x}<1 $$ $$ \tg\left(\frac{\pi}{5}+x\right)<1 $$ Так как функция $$\tg t$$ возрастает на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, то $$ -\frac{\pi}{2}+\pi n<\frac{\pi}{5}+x<\frac{\pi}{4}+\pi n. $$ Вычтем $$\frac{\pi}{5}$$: $$ -\frac{7\pi}{10}+\pi n

б)

$$ \frac{\tg 3x-1}{\tg 3x+1}>1 $$
$$ \frac{\tg 3x-\tg \frac{\pi}{4}}{1+\tg 3x\cdot \tg \frac{\pi}{4}}>1 $$
$$ \tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)>1 $$
Так как функция $$\tg t$$ возрастает на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, то
$$ -\frac{\pi}{2}+\pi n<3x-\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{4}+\pi n. $$ Прибавим $$\frac{\pi}{4}$$: $$ -\frac{\pi}{4}+\pi n<3x<\frac{\pi}{2}+\pi n. $$ Разделим на $$3$$: $$ -\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}

Ответ

а) $$-\frac{7\pi}{10}+\pi n<x<\frac{\pi}{20}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$