Упр.25.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-пи; 2пи]: a) (корень3 — tg x)/(1 + корень3 tg x) = 1; б) (tg пи/5 -tg 2x)/(tg пи/5 tg 2x + 1) = корень3.

а) Используем формулу

$$\frac{\tg \alpha-\tg \beta}{1+\tg \alpha \tg \beta}=\tg(\alpha-\beta).$$

Тогда

$$\frac{\sqrt3-\tg x}{1+\sqrt3\,\tg x}=1$$

$$\frac{\tg \frac{\pi}{3}-\tg x}{1+\tg \frac{\pi}{3}\tg x}=1$$

$$\tg\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=1.$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{3}-x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{12}+\pi n.$$

На отрезке $$[-\pi;2\pi]$$ получаем:

$$x=-\frac{11\pi}{12},\ \frac{\pi}{12},\ \frac{13\pi}{12}.$$

б) Аналогично:

$$\frac{\tg \frac{\pi}{5}-\tg 2x}{\tg \frac{\pi}{5}\tg 2x+1}=\sqrt3$$

$$\tg\left(\frac{\pi}{5}-2x\right)=\sqrt3.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{5}-2x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$2x=-\frac{2\pi}{15}+\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{15}+\frac{\pi n}{2}.$$

Подбираем значения на отрезке $$[-\pi;2\pi]$$:

$$x=-\frac{17\pi}{30},\ -\frac{\pi}{15},\ \frac{13\pi}{30},\ \frac{14\pi}{15},\ \frac{43\pi}{30},\ \frac{29\pi}{15}.$$

Ответ

а) $$-\frac{11\pi}{12},\ \frac{\pi}{12},\ \frac{13\pi}{12}$$; б) $$-\frac{17\pi}{30},\ -\frac{\pi}{15},\ \frac{13\pi}{30},\ \frac{14\pi}{15},\ \frac{43\pi}{30},\ \frac{29\pi}{15}$$.