Упр.25.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) (tg x + tg 3x)/(1 + tg x tg 3x) = 1; б) (tg 5x + tg 3x)/(1 + tg 5x tg 3x) = корень3.

а) Используем формулу:

$$\frac{\tg A+\tg B}{1-\tg A \tg B}=\tg(A+B).$$

Тогда

$$\frac{\tg x+\tg 3x}{1-\tg x \tg 3x}=\tg(x+3x)=\tg 4x.$$

Получаем уравнение

$$\tg 4x=1.$$

Отсюда

$$4x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb Z.$$

б) Аналогично используем формулу:

$$\frac{\tg A-\tg B}{1+\tg A \tg B}=\tg(A-B).$$

Тогда

$$\frac{\tg 5x-\tg 3x}{1+\tg 5x \tg 3x}=\tg(5x-3x)=\tg 2x.$$

Получаем уравнение

$$\tg 2x=\sqrt{3}.$$

Отсюда

$$2x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\ n\in \mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb Z.$$