Упр.25.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Дано: а — b = пи/4. Докажите, что: a) (1 + tg b)/(1 — tg b) = tg a; б) (tg b — 1)/(tg b + 1) = tg b.

Используем формулу тангенса суммы:

$$\tg(x+y)=\frac{\tg x+\tg y}{1-\tg x \tg y}.$$

Так как $$a-b=\frac{\pi}{4},$$ то

$$a=b+\frac{\pi}{4}.$$

Тогда

$$\tg a=\tg\left(b+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg b+\tg \frac{\pi}{4}}{1-\tg b \tg \frac{\pi}{4}}=\frac{\tg b+1}{1-\tg b}.$$

Следовательно,

$$\frac{1+\tg b}{1-\tg b}=\tg a.$$

Это и требовалось доказать.

б) Из условия $$a-b=\frac{\pi}{4}$$ получаем

$$b=a-\frac{\pi}{4}.$$

Тогда

$$\tg b=\tg\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg a-\tg \frac{\pi}{4}}{1+\tg a \tg \frac{\pi}{4}}=\frac{\tg a-1}{1+\tg a}.$$

Следовательно,

$$\frac{\tg a-1}{\tg a+1}=\tg b.$$

Это и требовалось доказать.

Ответ

$$\frac{1+\tg b}{1-\tg b}=\tg a,\qquad \frac{\tg a-1}{\tg a+1}=\tg b.$$