Упр.25.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Известно, что cos а = 3/5, 0 < а < пи/2. Вычислите: a) tg (a + пи/3); б) tg (a - 5пи/4).

Подробный ответ

Так как $$\cos a=\frac35$$ и $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в первой четверти, значит

$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac45.$$

Тогда

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{4/5}{3/5}=\frac43.$$

а)

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\tg a+\tg\frac{\pi}{3}}{1-\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{3}}=\frac{\frac43+\sqrt3}{1-\frac43\sqrt3}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{4+3\sqrt3}{3-4\sqrt3}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{(4+3\sqrt3)(3+4\sqrt3)}{(3-4\sqrt3)(3+4\sqrt3)}=\frac{12+16\sqrt3+9\sqrt3+36}{9-48}=-\frac{48+25\sqrt3}{39}.$$

б)

$$\tg\left(a-\frac{5\pi}{4}\right)=\tg\left(a-\frac{\pi}{4}\right),$$

так как $$\tg\left(x-\pi\right)=\tg x.$$

Тогда

$$\tg\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg a-\tg\frac{\pi}{4}}{1+\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{4}}=\frac{\frac43-1}{1+\frac43\cdot 1}=\frac{\frac13}{\frac73}=\frac17.$$