Упр.25.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Зная, что tg а = 3 и tg (а + b) = 1, вычислите tg b; б) зная, что tg а = 1/4 и tg (а — b) = 2, вычислите tg b.

а) Используем формулу тангенса суммы:

$$ \tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot \tg b} $$

Подставим данные:

$$ \frac{3+\tg b}{1-3\tg b}=1 $$

Тогда

$$ 3+\tg b=1-3\tg b $$

$$ 4\tg b=-2 $$

$$ \tg b=-\frac12 $$

б) Используем формулу тангенса разности:

$$ \tg(a-b)=\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot \tg b} $$

Подставим данные:

$$ \frac{\frac14-\tg b}{1+\frac14\tg b}=2 $$

Умножим обе части на $$1+\frac14\tg b$$:

$$ \frac14-\tg b=2+\frac12\tg b $$

Перенесём слагаемые с $$\tg b$$ в одну сторону, числа — в другую:

$$ -\tg b-\frac12\tg b=2-\frac14 $$

$$ -\frac32\tg b=\frac74 $$

$$ \tg b=-\frac74\cdot\frac23=-\frac76 $$

Ответ

а) $$-\frac12$$; б) $$-\frac76$$.