Упр.25.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Вычислите tg а, если tg (a — пи/4) = 3; б) вычислите ctg а, если tg (a + пи/4) = 0,2.

а) Используем формулу тангенса суммы и разности:

$$\tg\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg a-\tg\frac{\pi}{4}}{1+\tg a\cdot \tg\frac{\pi}{4}}=\frac{\tg a-1}{1+\tg a}.$$

По условию:

$$\frac{\tg a-1}{1+\tg a}=3.$$

Решим уравнение:

$$\tg a-1=3(1+\tg a)$$

$$\tg a-1=3+3\tg a$$

$$-2\tg a=4$$

$$\tg a=-2.$$

б) Аналогично:

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg a+\tg\frac{\pi}{4}}{1-\tg a\cdot \tg\frac{\pi}{4}}=\frac{\tg a+1}{1-\tg a}.$$

По условию:

$$\frac{\tg a+1}{1-\tg a}=0{,}2=\frac15.$$

Решим уравнение:

$$5(\tg a+1)=1-\tg a$$

$$5\tg a+5=1-\tg a$$

$$6\tg a=-4$$

$$\tg a=-\frac23.$$

Тогда

$$\ctg a=\frac{1}{\tg a}=\frac{1}{-\frac23}=-\frac32=-1{,}5.$$

Ответ

а) $$-2$$; б) $$-1{,}5$$.