Упр.25.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: a) tg (пи/4 — a), если tg a = 2/3; б) tg (a + пи/3), если tg a = 4/5.

Используем формулы:

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}, \qquad \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}.$$

1. $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{4}-\tg a}{1+\tg\frac{\pi}{4}\cdot\tg a}=\frac{1-\frac{2}{3}}{1+1\cdot\frac{2}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{1}{5}.$$

2. $$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\tg a+\tg\frac{\pi}{3}}{1-\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{3}}=\frac{\frac{4}{5}+\sqrt{3}}{1-\frac{4}{5}\sqrt{3}}.$$

   Приведём к общему виду:

   $$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\frac{4+5\sqrt{3}}{5}}{\frac{5-4\sqrt{3}}{5}}=\frac{4+5\sqrt{3}}{5-4\sqrt{3}}.$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{(4+5\sqrt{3})(5+4\sqrt{3})}{(5-4\sqrt{3})(5+4\sqrt{3})}=\frac{80+41\sqrt{3}}{23}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{5}$$; б) $$\frac{80+41\sqrt{3}}{23}$$.