Упр.25.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: a) tg 15°; б) tg 75°; в) tg 105°; г) tg 165°.

Подробный ответ

Используем формулу суммы и разности тангенсов:

$$\tg(\alpha \pm \beta)=\frac{\tg \alpha \pm \tg \beta}{1 \mp \tg \alpha \cdot \tg \beta}.$$

а)

$$\tg 15^\circ=\tg(45^\circ-30^\circ)=\frac{\tg 45^\circ-\tg 30^\circ}{1+\tg 45^\circ\cdot \tg 30^\circ}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}.$$

Упростим дробь:

$$\tg 15^\circ=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}.$$

б)

$$\tg 75^\circ=\tg(45^\circ+30^\circ)=\frac{\tg 45^\circ+\tg 30^\circ}{1-\tg 45^\circ\cdot \tg 30^\circ}=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}.$$

Тогда

$$\tg 75^\circ=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}.$$

в)

$$\tg 105^\circ=\tg(45^\circ+60^\circ)=\frac{\tg 45^\circ+\tg 60^\circ}{1-\tg 45^\circ\cdot \tg 60^\circ}=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}.$$

Упростим:

$$\tg 105^\circ=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}=\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}=-2-\sqrt{3}.$$

г)

$$\tg 165^\circ=\tg(120^\circ+45^\circ)=\frac{\tg 120^\circ+\tg 45^\circ}{1-\tg 120^\circ\cdot \tg 45^\circ}.$$

Так как $$\tg 120^\circ=-\sqrt{3},$$ то

$$\tg 165^\circ=\frac{-\sqrt{3}+1}{1-(-\sqrt{3})}=\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$\tg 165^\circ=\frac{(1-\sqrt{3})^2}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}=\frac{4-2\sqrt{3}}{-2}=\sqrt{3}-2.$$