Упр.24.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Упростите выражение: a) (sin(a+B)-cosa sina)/(sin(a-B) + cosa sinB) б) (sin(a-B) + 2cosa sinB)/(2cosa cosB — cos(a-B)) в) (cos(a+B) + sina sinB)/(cos(a-B) — sina sinB) г) cos(a-B) — 2sina sinB)/(2sina cosB — sin(a-B))

1. $$\frac{\sin(a+\beta)-\cos a\sin\beta}{\sin(a-\beta)+\cos a\sin\beta}$$

   Используем формулы суммы и разности:

   $$\sin(a+\beta)=\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta,$$

   $$\sin(a-\beta)=\sin a\cos\beta-\cos a\sin\beta.$$

   Тогда

   $$ \frac{(\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta)-\cos a\sin\beta}{(\sin a\cos\beta-\cos a\sin\beta)+\cos a\sin\beta} = \frac{\sin a\cos\beta}{\sin a\cos\beta}=1. $$

2. $$\frac{\sin(a-\beta)+2\cos a\sin\beta}{2\cos a\cos\beta-\cos(a-\beta)}$$

   Подставим формулу

   $$\cos(a-\beta)=\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta.$$

   Получаем:

   $$ \frac{(\sin a\cos\beta-\cos a\sin\beta)+2\cos a\sin\beta}{2\cos a\cos\beta-(\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta)} = \frac{\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta}{\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta}. $$

   Числитель и знаменатель распознаются как формулы суммы:

   $$ \frac{\sin(a+\beta)}{\cos(a+\beta)}=\tg(a+\beta). $$

3. $$\frac{\cos(a+\beta)+\sin a\sin\beta}{\cos(a-\beta)-\sin a\sin\beta}$$

   Используем формулы:

   $$\cos(a+\beta)=\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta,$$

   $$\cos(a-\beta)=\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta.$$

   Тогда

   $$ \frac{(\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta)+\sin a\sin\beta}{(\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta)-\sin a\sin\beta} = \frac{\cos a\cos\beta}{\cos a\cos\beta}=1. $$

4. $$\frac{\cos(a-\beta)-2\sin a\sin\beta}{2\sin a\cos\beta-\sin(a-\beta)}$$

   Подставим

   $$\cos(a-\beta)=\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta,$$

   $$\sin(a-\beta)=\sin a\cos\beta-\cos a\sin\beta.$$

   Тогда

   $$ \frac{(\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta)-2\sin a\sin\beta}{2\sin a\cos\beta-(\sin a\cos\beta-\cos a\sin\beta)} = \frac{\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta}{\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta}. $$

   Это

   $$ \frac{\cos(a+\beta)}{\sin(a+\beta)}=\ctg(a+\beta). $$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\tg(a+\beta)$$; в) $$1$$; г) $$\ctg(a+\beta)$$.