Упр.24.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите значение выражения: a) ((1 + cos 44° cos 1° — sin 44° sin 1°)2 — 1,5)2; б) ((1 + sin 57° cos 3° + cos 57° sin 3°)2 — 1.75)2; в) ((2 + sin 41° cos 4° + cos 41° sin 4°)2 — 4,5)2; r) ((2 + cos 25° cos 5° — sin 25° sin 5°)2 — 4,75)2.

Обозначим

$$a=\arcsin \frac45,\quad b=\arcsin \frac5{13},\quad c=\arcsin \frac{16}{65}.$$

Тогда нужно доказать, что

$$a+b+c=\frac{\pi}{2}.$$

Найдём значения синусов и косинусов этих углов.

Так как $$a\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],$$ то

$$\sin a=\frac45,\qquad \cos a=\sqrt{1-\sin^2 a}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35.$$

Аналогично для угла $$b$$:

$$\sin b=\frac5{13},\qquad \cos b=\sqrt{1-\sin^2 b}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}.$$

Тогда

$$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b=\frac45\cdot\frac{12}{13}+\frac35\cdot\frac5{13}=\frac{63}{65},$$

$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b=\frac35\cdot\frac{12}{13}-\frac45\cdot\frac5{13}=\frac{16}{65}.$$

Следовательно,

$$\sin(a+b)=\frac{63}{65},\qquad \cos(a+b)=\frac{16}{65}.$$

Теперь для угла $$c$$:

$$\sin c=\frac{16}{65},\qquad \cos c=\sqrt{1-\sin^2 c}=\sqrt{1-\frac{256}{4225}}=\frac{63}{65}.$$

Значит,

$$\sin(a+b)=\cos c,\qquad \cos(a+b)=\sin c.$$

Так как $$a+b\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$$ и $$c\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right],$$ то

$$a+b=\frac{\pi}{2}-c,$$

то есть

$$a+b+c=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$\frac{\pi}{2}$$