Упр.24.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = пи/2.

Подробный ответ

Обозначим

$$a=\arccos\frac12,\qquad b=\arccos\left(-\frac17\right),\qquad c=\arccos\left(-\frac{13}{14}\right).$$

Тогда нужно доказать, что $$a+b=c.$$

Найдём значения синусов и косинусов углов $$a$$ и $$b$$.

Так как $$a=\arccos\frac12,$$ то

$$\cos a=\frac12,\qquad \sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\frac14}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Так как $$b=\arccos\left(-\frac17\right),$$ то

$$\cos b=-\frac17,\qquad \sin b=\sqrt{1-\cos^2 b}=\sqrt{1-\frac1{49}}=\sqrt{\frac{48}{49}}=\frac{4\sqrt3}{7}.$$

Теперь вычислим косинус суммы:

$$ \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b =\frac12\cdot\left(-\frac17\right)-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{4\sqrt3}{7} =-\frac1{14}-\frac{12}{14} =-\frac{13}{14}. $$

Кроме того, $$a\in\left[0,\pi\right]$$ и $$b\in\left[0,\pi\right],$$ причём $$a+b\in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right],$$ то есть угол $$a+b$$ лежит во второй четверти. Для угла $$c=\arccos\left(-\frac{13}{14}\right)$$ также имеем $$c\in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right].$$

В этой четверти значение косинуса однозначно определяет угол, поэтому из равенства

$$\cos(a+b)=\cos c=-\frac{13}{14}$$

следует, что

$$a+b=c.$$

Значит,

$$\arccos\frac12+\arccos\left(-\frac17\right)=\arccos\left(-\frac{13}{14}\right).$$