Упр.24.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите равенство: arccos 1/2 + arccos (-1/7) = arccos (-13/14).

Подробный ответ

Обозначим

$$a=\arccos \frac12,\qquad b=\arccos\left(-\frac17\right).$$

Тогда нужно доказать, что

$$a+b=\arccos\left(-\frac{13}{14}\right).$$

Найдём значения синусов и косинусов углов $a$ и $b$.

Так как $$a=\arccos \frac12,$$ то

$$\cos a=\frac12,\qquad \sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\frac14}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Так как $$b=\arccos\left(-\frac17\right),$$ то

$$\cos b=-\frac17,\qquad \sin b=\sqrt{1-\cos^2 b}=\sqrt{1-\frac1{49}}=\frac{4\sqrt3}{7}.$$

Теперь вычислим косинус суммы:

$$ \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b =\frac12\cdot\left(-\frac17\right)-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{4\sqrt3}{7} =-\frac1{14}-\frac{12}{14} =-\frac{13}{14}. $$

Осталось определить четверть, в которой лежит угол $a+b$. Поскольку

$$0\le a\le \pi,\qquad 0\le b\le \pi,$$

а при этом $\cos a>0$, $\cos b<0$, то угол $a+b$ лежит во второй четверти, значит его косинус отрицателен. Следовательно,

$$a+b=\arccos\left(-\frac{13}{14}\right).$$