Упр.24.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите равенство: arcsin 4/5 — arccos 2/корень5 = arctg 1/2.

Пусть

$$a=\arcsin \frac45,\qquad b=\arccos \frac{2}{\sqrt5}.$$

Тогда нужно доказать, что $$a-b=\arctg \frac12.$$

Найдём значения синуса и косинуса углов $$a$$ и $$b$$.

Так как $$a=\arcsin \frac45,$$ то

$$\sin a=\frac45,\qquad \cos a=\sqrt{1-\sin^2 a}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35.$$

Так как $$b=\arccos \frac{2}{\sqrt5},$$ то

$$\cos b=\frac{2}{\sqrt5},\qquad \sin b=\sqrt{1-\cos^2 b}=\sqrt{1-\frac45}=\frac1{\sqrt5}.$$

Теперь вычислим синус разности:

$$ \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b =\frac45\cdot\frac{2}{\sqrt5}-\frac35\cdot\frac1{\sqrt5} =\frac{8-3}{5\sqrt5} =\frac1{\sqrt5}. $$

Вычислим косинус разности:

$$ \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b =\frac35\cdot\frac{2}{\sqrt5}+\frac45\cdot\frac1{\sqrt5} =\frac{6+4}{5\sqrt5} =\frac{2}{\sqrt5}. $$

Следовательно,

$$\tg(a-b)=\frac{\sin(a-b)}{\cos(a-b)}=\frac{1/\sqrt5}{2/\sqrt5}=\frac12.$$

Кроме того, $$a-b$$ — угол из промежутка $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ значит

$$a-b=\arctg \frac12.$$

Тем самым

$$\arcsin \frac45-\arccos \frac{2}{\sqrt5}=\arctg \frac12.$$

Ответ

$$\arctg \frac12$$