Упр.24.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin (arccos (-4/5) + arcsin 1/3); б) cos (arctg 3/4 + arcsin (-3/5)).
а) $$\sin\left(\arccos\left(-\frac45\right)+\arcsin\frac13\right)$$
Пусть $$\alpha=\arccos\left(-\frac45\right), \quad \beta=\arcsin\frac13.$$ Тогда
$$\cos\alpha=-\frac45,\qquad \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35,$$
$$\sin\beta=\frac13,\qquad \cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\frac19}=\frac{2\sqrt2}{3}.$$
Используем формулу суммы синусов:
$$ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta =\frac35\cdot\frac{2\sqrt2}{3}+\left(-\frac45\right)\cdot\frac13 =\frac{2\sqrt2}{5}-\frac{4}{15} =\frac{6\sqrt2-4}{15}. $$
б) $$\cos\left(\arctg\frac34+\arcsin\left(-\frac35\right)\right)$$
Пусть $$\gamma=\arctg\frac34,\quad \delta=\arcsin\left(-\frac35\right).$$ Тогда
$$\tg\gamma=\frac34 \Rightarrow \sin\gamma=\frac35,\ \cos\gamma=\frac45,$$
так как $$\gamma\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$$
Для $$\delta$$ имеем:
$$\sin\delta=-\frac35,\qquad \cos\delta=\sqrt{1-\sin^2\delta}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac45,$$
так как $$\delta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$
Используем формулу косинуса суммы:
$$ \cos(\gamma+\delta)=\cos\gamma\cos\delta-\sin\gamma\sin\delta =\frac45\cdot\frac45-\frac35\cdot\left(-\frac35\right) =\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1. $$
Ответ
а) $$\frac{6\sqrt2-4}{15}$$; б) $$1$$.
