Упр.24.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: a) sin (пи/3 + arccos 3/5); б) cos (пи/6 + arccos (-3/5)); в) sin (пи/4 — arcsin 3/5); г) cos (пи/2 — arcsin 5/13);

Подробный ответ

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\arccos\frac35\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos\arccos\frac35+\cos\frac{\pi}{3}\sin\arccos\frac35.$$
Так как $$\cos\arccos\frac35=\frac35,$$ а
$$\sin\arccos\frac35=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45,$$
то
$$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\arccos\frac35\right)=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac35+\frac12\cdot\frac45=\frac{3\sqrt3+4}{10}.$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{6}+\arccos\left(-\frac35\right)\right)=\cos\frac{\pi}{6}\cos\arccos\left(-\frac35\right)-\sin\frac{\pi}{6}\sin\arccos\left(-\frac35\right).$$
Имеем
$$\cos\arccos\left(-\frac35\right)=-\frac35,$$
$$\sin\arccos\left(-\frac35\right)=\sqrt{1-\left(-\frac35\right)^2}=\frac45.$$
Тогда
$$\cos\left(\frac{\pi}{6}+\arccos\left(-\frac35\right)\right)=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac35\right)-\frac12\cdot\frac45=-\frac{3\sqrt3+4}{10}.$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-\arcsin\frac35\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cos\arcsin\frac35-\cos\frac{\pi}{4}\sin\arcsin\frac35.$$
Так как
$$\sin\arcsin\frac35=\frac35,$$
$$\cos\arcsin\frac35=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45,$$
то
$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-\arcsin\frac35\right)=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac45-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac35=\frac{\sqrt2}{10}.$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{5}{13}\right)=\sin\arcsin\frac{5}{13}=\frac{5}{13}.$$