Упр.24.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: a) y = sin 11x/5 cos (x+10пи)/5 — cos 11x/5 sin x/5; б) y = cos (2x + 7пи/12) cos (x + пи/4) + sin (2x + 7пи/12) sin (x + 9пи/4)

а) Пусть

$$\tg(a+\beta)\cdot \sin \gamma=\cos \gamma.$$

Тогда

$$\tg(a+\beta)=\frac{\cos \gamma}{\sin \gamma}=\ctg \gamma.$$

Используем формулу

$$\ctg \gamma=\tg\left(\frac{\pi}{2}-\gamma+\pi n\right), \quad n\in \mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$\tg(a+\beta)=\tg\left(\frac{\pi}{2}-\gamma+\pi n\right).$$

Отсюда

$$a+\beta=\frac{\pi}{2}-\gamma+\pi n,$$

значит,

$$a+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть

$$\ctg(a+\beta)\cdot \sin \gamma=-\cos \gamma.$$

Тогда

$$\ctg(a+\beta)=-\frac{\cos \gamma}{\sin \gamma}=-\ctg \gamma.$$

Но

$$-\ctg \gamma=\ctg(\pi-\gamma+\pi n), \quad n\in \mathbb{Z}.$$

Значит,

$$\ctg(a+\beta)=\ctg(\pi-\gamma+\pi n).$$

Отсюда

$$a+\beta=\pi-\gamma+\pi n,$$

следовательно,

$$a+\beta+\gamma=\pi+\pi n.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

а) $$a+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}+\pi n$$; б) $$a+\beta+\gamma=\pi+\pi n$$, где $$n\in \mathbb{Z}$$.