Упр.24.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что не существует пары (х; у), такой, что: a) sin х cos у = 0,7; cos x sin у = 0,4; б) cos х cos у = корень6 / 3; sin x sin у = — корень2 / 2.

Подробный ответ

а) Пусть

$$\sin x \cos y=0{,}7,\qquad \cos x \sin y=0{,}4.$$

Тогда

$$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y=0{,}7+0{,}4=1{,}1.$$

Но значение синуса не может быть больше $$1$$. Получили противоречие, значит, такой пары $$\left(x;y\right)$$ не существует.

б) Пусть

$$\cos x \cos y=\frac{\sqrt6}{3},\qquad \sin x \sin y=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y=\frac{\sqrt6}{3}-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{\sqrt6}{3}+\frac{\sqrt2}{2}.$$

Оценим это число:

$$\frac{\sqrt6}{3}+\frac{\sqrt2}{2}>1,$$

так как $$\frac{\sqrt6}{3}\approx 0{,}816$$ и $$\frac{\sqrt2}{2}\approx 0{,}707,$$ их сумма больше $$1$$. Но значение косинуса не может быть больше $$1$$. Следовательно, такой пары $$\left(x;y\right)$$ не существует.