Упр.24.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Зная, что cos (x + у) = a, cos (х — у) = b, найдите tg x tg y б) Зная, что sin (х + у) = a, sin (х — у) = b, найдите tg x / tg y

Подробный ответ

а) Пусть

$$a=\frac{\sin 3}{\sin 4}, \qquad b=\frac{\cos 3}{\cos 4}.$$

Тогда

$$ a-b=\frac{\sin 3}{\sin 4}-\frac{\cos 3}{\cos 4} =\frac{\sin 3\cos 4-\cos 3\sin 4}{\sin 4\cos 4} =\frac{\sin(3-4)}{\sin 4\cos 4} =-\frac{\sin 1}{\sin 4\cos 4}. $$

Так как $$0<1<\frac{\pi}{2},$$ то $$\sin 1>0.$$

Число $$4$$ лежит в третьей четверти, значит $$\sin 4<0,$$ $$\cos 4<0,$$ поэтому $$\sin 4\cos 4>0.$$ Следовательно,

$$a-b<0,$$

то есть $$a<b.$$

б) Пусть

$$a=\frac{\sin 4}{\cos 5}, \qquad b=\frac{\cos 4}{\sin 5}.$$

Тогда

$$ a-b=\frac{\sin 4}{\cos 5}-\frac{\cos 4}{\sin 5} =\frac{\sin 4\sin 5-\cos 4\cos 5}{\sin 5\cos 5} =-\frac{\cos(4+5)}{\sin 5\cos 5} =-\frac{\cos 9}{\sin 5\cos 5}. $$

Число $$9$$ лежит во второй четверти, значит $$\cos 9<0.$$

Число $$5$$ лежит в четвертой четверти, поэтому $$\sin 5<0,$$ $$\cos 5>0,$$ а значит $$\sin 5\cos 5<0.$$ Тогда

$$a-b<0,$$

следовательно, $$a<b.$$