Упр.24.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сравните числа a и b, если: a) а = sin 3 / sin 4; б) b = cos 3 / cos 4; в) а = sin 4 / cos 5; г) b = cos 4 / sin 5.

Используем формулу суммы синусов:

$$b=\sin 3x=\sin(x+2x)=\sin x\cdot \cos 2x+\cos x\cdot \sin 2x.$$

а) $$\frac{\pi}{2}<x<\pi.$$

Тогда $$\cos x<0,$$ а при $$\pi<2x<2\pi$$ имеем $$\sin 2x<0.$$

Найдём разность:

$$ a-b=\sin x\cdot \cos 2x-\bigl(\sin x\cdot \cos 2x+\cos x\cdot \sin 2x\bigr) =-\cos x\cdot \sin 2x. $$

Так как $$\cos x<0$$ и $$\sin 2x<0,$$ то $$-\cos x\cdot \sin 2x<0.$$ Значит, $$a-b<0,$$ то есть $$a<b.$$

б) $$\pi<x<\frac{3\pi}{2}.$$

Тогда $$\cos x<0,$$ а при $$2\pi<2x<3\pi$$ имеем $$\sin 2x>0.$$

Снова:

$$ a-b=-\cos x\cdot \sin 2x. $$

Теперь $$\cos x<0$$ и $$\sin 2x>0,$$ значит $$-\cos x\cdot \sin 2x>0.$$ Следовательно, $$a-b>0,$$ то есть $$a>b.$$

Ответ

а) $$a<b$$; б) $$a>b$$.