Упр.24.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сравните числа а = cos х cos 2х и b = cos Зх, если: a) 0 < х < пи/2; б) пи/2 < х < пи.

Используем формулы:

$$\cos 3x=\cos(2x+x)=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x,$$

$$\sin 2x=2\sin x\cos x.$$

а) При $$0<x<\frac{\pi}{2}$$ имеем $$\cos x>0$$ и $$\cos 2x=\cos(2x).$$

Преобразуем:

$$ a=\cos x\cos 2x,\qquad b=\cos 3x. $$

Тогда

$$ b=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x =\cos x\cos 2x-2\sin^2 x\cos x. $$

Следовательно,

$$ a-b=2\sin^2 x\cos x>0, $$

так как $$\sin^2 x>0$$ и $$\cos x>0.$$ Значит, $$a>b.$$

б) При $$\frac{\pi}{2}<x<\pi$$ имеем $$\cos x<0.$$ Аналогично:

$$ a-b=2\sin^2 x\cos x<0, $$

поскольку $$\sin^2 x>0$$, а $$\cos x<0.$$ Значит, $$a<b.$$

Ответ

а) $$a>b$$; б) $$a<b$$.