Упр.24.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Определите знак числа а: a) а = (cos 1 + cos 2)2 + (sin 1 — sin 2)2 — 2; б) а = (sin 3 + cos 4)2 + (cos 3 + sin 4)2 — 1.

Подробный ответ

а) Пусть

$$a=(\cos 1+\cos 2)^2+(\sin 1-\sin 2)^2-2.$$

Раскроем скобки:

$$ \begin{aligned} a&=\cos^2 1+2\cos 1\cos 2+\cos^2 2+\sin^2 1-2\sin 1\sin 2+\sin^2 2-2\\ &=(\cos^2 1+\sin^2 1)+(\cos^2 2+\sin^2 2)+2(\cos 1\cos 2-\sin 1\sin 2)-2\\ &=1+1+2\cos(1+2)-2\\ &=2\cos 3. \end{aligned} $$

Так как $$3\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),$$ то $$\cos 3<0.$$ Следовательно, $$a<0.$$

б) Пусть

$$b=(\sin 3+\cos 4)^2+(\cos 3+\sin 4)^2-1.$$

Раскроем скобки:

$$ \begin{aligned} b&=\sin^2 3+2\sin 3\cos 4+\cos^2 4+\cos^2 3+2\cos 3\sin 4+\sin^2 4-1\\ &=(\sin^2 3+\cos^2 3)+(\sin^2 4+\cos^2 4)+2(\sin 3\cos 4+\cos 3\sin 4)-1\\ &=1+1+2\sin(3+4)-1\\ &=1+2\sin 7. \end{aligned} $$

Так как $$7\in(2\pi, \tfrac{5\pi}{2}),$$ то $$\sin 7>0.$$ Значит, $$b>0.$$