Упр.24.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Упростите выражение: a) sin(5Пи/6 — a) — 1/2cosa б) корень3 cosa — 2cos(a-Пи/6) в) корень3/2 sina + cos(a-5Пи/3) г) корень2 sin(a-Пи/4) — sina
$$\sin\left(\frac{5\pi}{6}-a\right)-\frac12\cos a$$
$$\sin\left(\frac{5\pi}{6}-a\right)=\sin\frac{5\pi}{6}\cos a-\cos\frac{5\pi}{6}\sin a$$
$$=\frac12\cos a-\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\sin a=\frac12\cos a+\frac{\sqrt3}{2}\sin a$$
$$\frac12\cos a+\frac{\sqrt3}{2}\sin a-\frac12\cos a=\frac{\sqrt3}{2}\sin a$$
$$\sqrt3\cos a-2\cos\left(a-\frac{\pi}{6}\right)$$
$$\cos\left(a-\frac{\pi}{6}\right)=\cos a\cos\frac{\pi}{6}+\sin a\sin\frac{\pi}{6}$$
$$=\frac{\sqrt3}{2}\cos a+\frac12\sin a$$
$$\sqrt3\cos a-2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos a+\frac12\sin a\right)=\sqrt3\cos a-\sqrt3\cos a-\sin a=-\sin a$$
$$\frac{\sqrt3}{2}\sin a+\cos\left(a-\frac{5\pi}{3}\right)$$
$$\cos\left(a-\frac{5\pi}{3}\right)=\cos a\cos\frac{5\pi}{3}+\sin a\sin\frac{5\pi}{3}$$
$$=\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a$$
$$\frac{\sqrt3}{2}\sin a+\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a=\frac12\cos a$$
$$\sqrt2\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)-\sin a$$
$$\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\sin a\cos\frac{\pi}{4}-\cos a\sin\frac{\pi}{4}$$
$$=\frac{\sqrt2}{2}\sin a-\frac{\sqrt2}{2}\cos a$$
$$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin a-\frac{\sqrt2}{2}\cos a\right)-\sin a=\sin a-\cos a-\sin a=-\cos a$$
Ответ
а) $$\frac{\sqrt3}{2}\sin a$$; б) $$-\sin a$$; в) $$\frac12\cos a$$; г) $$-\cos a$$.
