Упр.24.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Зная, что sin (x-пи/6) = 0,6 и 2пи/3 < x < 7пи/6, вычислите: sin x. б) Зная, что cos (x+2пи/3) = -0,8 и пи/3 < x < 5пи/6, вычислите: cos x.

а) Используем формулу синуса разности:

$$\sin x=\sin\left(\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{6}+\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\sin\frac{\pi}{6}.$$

Обозначим $$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0{,}6.$$ Тогда

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{1-0{,}6^2}=0{,}8,$$

так как при $$\frac{2\pi}{3}

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-0{,}8.$$

Тогда

$$\sin x=0{,}6\cdot\frac{\sqrt3}{2}+(-0{,}8)\cdot\frac12=0{,}3\sqrt3-0{,}4.$$

б) Используем формулу косинуса суммы:

$$\cos x=\cos\left(\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)-\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)\cos\frac{2\pi}{3}+\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)\sin\frac{2\pi}{3}.$$

Пусть $$\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=-0{,}8.$$ Тогда

$$\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\sqrt{1-(-0{,}8)^2}=0{,}6,$$

так как при $$\frac{\pi}{3}

$$\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=-0{,}6.$$

Тогда

$$\cos x=(-0{,}8)\cdot\left(-\frac12\right)+(-0{,}6)\cdot\frac{\sqrt3}{2}=0{,}4-0{,}3\sqrt3.$$

Ответ

а) $$\sin x=0{,}3\sqrt3-0{,}4$$; б) $$\cos x=0{,}4-0{,}3\sqrt3$$.