Упр.24.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что для любого действительного значения х справедливо неравенство: a) sin (5 + х) cos х < cos (5 + х) sin х; б) cos (7 - 2х) cos 2х > sin (7 — 2х) sin 2х.
а) Используем формулу синуса суммы:
$$\sin(5+x)\cos x+\cos(5+x)\sin x=\sin(5+2x).$$
Тогда неравенство равносильно
$$\sin(5+2x)<\cos(5+2x).$$
Перенесём в одну сторону и применим формулу:
$$\sin(5+2x)-\cos(5+2x)<0.$$
Так как $$\sin t-\cos t=\sqrt2\,\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right),$$ получаем
$$\sin\left(5+2x-\frac{\pi}{4}\right)<0.$$
Следовательно,
$$\pi+2\pi n<5+2x-\frac{\pi}{4}<2\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$\frac{\pi}{2}+\pi n<5+2x<\frac{5\pi}{2}+\pi n,$$
$$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}-\frac{5}{2}<x<\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}-\frac{5}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
б) Используем формулу косинуса суммы:
$$\cos(7-2x)\cos 2x-\sin(7-2x)\sin 2x=\cos(7).$$
Но по условию нужно доказать неравенство
$$\cos(7-2x)\cos 2x>\sin(7-2x)\sin 2x,$$
то есть
$$\cos(7-2x)\cos 2x-\sin(7-2x)\sin 2x>0,$$
или
$$\cos 7>0.$$
Это неверно для всех действительных $x$, так как левая часть не зависит от $x$ и равна $$\cos 7<0.$$
Следовательно, данное неравенство не выполняется при всех действительных значениях $x$.
Ответ
а) $$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}-\frac{5}{2}<x<\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}-\frac{5}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
б) Неравенство не является верным для всех действительных $x$.
